费马点模型【模型专题】(含答案解析)

费马点模型

【模型分析】

费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．

若三角形内有一个内角大于等于

120

°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的

点．若三角形的内角均小于

120

°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所

在的周角；

1

、若三角形有一个内角大于等于

120

°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

如图在△

ABC

中，∠

BAC

≥

120

°，求证：点

A

为△

ABC

的费马点

证明：

如图，在△

ABC

内有一点

P

延长

BA

至

C

，使得

AC

＝

AC

，作∠

CAP

＝

∠

CAP

，并且使得

AP

＝

AP

，连结

PP

则△

APC

≌△

APC

，

PC

＝

PC

因为∠

BAC

≥

120

°

所以∠

P

AP

′＝∠

CAC

≤

60

所以在等腰△

P

AP

中，

AP

≥

PP

′

所以

P

A

＋

PB

＋

PC

≥

PP

′＋

PB

＋

PC

＞

BC

＝

AB

＋

AC

所以点

A

为△

ABC

的费马点

2

、若三角形

内角均小于

120

°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三

角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．